Линейные комбинации векторов используются в пространственной геометрии для представления любого вектора в виде суммы заранее определённых векторов с зависящими от этого вектора коэффициентами. 4

Например, если в трёхмерном пространстве взять три некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов. 3 Представление вектора в таком виде называется разложением вектора в базисе, а числа — координатами вектора в этом базисе. 3

Также линейные комбинации векторов позволяют изучать не только простейшие геометрические объекты — точки, векторы, прямые, плоскости, многогранники, но и более или менее произвольные кривые линии, поверхности, тела. 2 Для этого иногда нужно привлекать аппарат не только алгебры, но и дифференциального исчисления. 2 В результате получается раздел математики, называемый дифференциальной геометрией. 2