Как используется принцип Больцано-Вейерштрасса в математическом анализе?

Принцип Больцано-Вейерштрасса в математическом анализе используется для доказательства многих предложений. ru.wikipedia.org www.webmath.ru Например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. ru.wikipedia.org www.webmath.ru

При доказательстве различных предложений в анализе часто прибегают к следующему приёму: определяют последовательность точек, обладающую каким-либо нужным свойством, а затем из неё выделяют подпоследовательность, также им обладающую, но уже сходящуюся. ru.wikipedia.org

Также теорема Больцано-Вейерштрасса устанавливает достаточное условие компактности в пространстве: для того чтобы множество было компактным, достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Таким образом, роль теоремы Больцано-Вейерштрасса заключается в том, что она устанавливает критерий компактности в пространстве. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru