Как используется метод замены переменных в решении интегралов?

Метод замены переменной позволяет вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных. 3

Суть метода: от исходной переменной интегрирования (например, x) переходят к другой переменной (t). 3 При этом считается, что переменные x и t связаны некоторым соотношением (x = x(t), или t = t(x)). 3 Например, x = ln t, x = sin t, t = 2x + 1 и т. п.. 3

Задача: подобрать такую зависимость между x и t, чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым. 3

Для применения метода замены переменной требуется: 1

1. Увидеть под знаком интеграла функцию и её производную. 1
2. Обозначить эту функцию за новую переменную. 1
3. Выразить dx через новую переменную и свести интеграл к табличному. 1
4. После нахождения первообразной функции вернуться к старой переменной. 1

Пример: если под знаком интеграла стоит сложная функция вида (3x + 1) 5, можно ввести новую переменную u = 3x + 1, что значительно упростит вычисления. 4