Метод вертикальных углов в задачах на окружности используется для решения, например, такой задачи: 1

Отрезки AC и BК — диаметры окружности с центром O. Угол AOК равен 114°. Найдите вписанный угол ACB. 1

Решение:

В данном случае угол AOК является вертикальным с углом ВОС треугольника ВОС, и угол ВОС равен 114 градусам. 1

Известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. 1 Значит, сумма углов ОВС и ОСВ равна 180 – 114 = 66 градусов. 1

Углы ОВС и ОСВ равны, так как треугольник ОВС равнобедренный (ОВ = ОС — радиусы). 1 Поэтому угол ACB равен 66 : 2 = 33 градусам. 1

Ещё один пример использования метода вертикальных углов в задачах на окружности — доказательство, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности BCD. 4 Для этого рассматривают MDQ, BPN и CQP: углы QPC = BPN, PQC = DQM (вертикальные). 4

Таким образом, метод вертикальных углов позволяет устанавливать определённые соотношения между элементами рассматриваемой фигуры и использовать их для решения задач на окружности.