Как используется метод площадей в геометрии для решения задач на высоты треугольника?

Метод площадей в геометрии позволяет решать задачи на высоты треугольника, рассматривая площадь фигуры с помощью двух оснований и двух высот. vk.com

Пример решения задачи: vk.com

Дано: у треугольника со сторонами 16 и 2 проведены высоты к этим сторонам. vk.com Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. vk.com Нужно найти высоту, проведённую ко второй стороне. vk.com

Решение: vk.com

1. Рассчитаем площадь треугольника через первую сторону (16) и проведённую к ней высоту (1). vk.com По формуле площадь получится: S = ½ |* 16 |* 1 = 8. vk.com
2. Используем найденную площадь для нахождения второй высоты по той же формуле: 8 = ½ |* 2 |* h. vk.com
3. Получаем h = 8. vk.com

Ещё один пример: dzen.ru

В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота, проведённая к основанию, 20 см. dzen.ru Нужно определить высоту, опущенную на боковую сторону. dzen.ru

Решение: dzen.ru

1. Площадь треугольника АВС может быть найдена разными способами, но численное значение должно получаться одно и то же. dzen.ru
2. С одной стороны, площадь треугольника АВС может быть найдена как полупроизведение высоты BH на сторону АС. dzen.ru
3. С другой стороны, площадь треугольника АВС может быть найдена как полупроизведение высоты АМ на сторону ВС. dzen.ru
4. Площади приравняем и выразим неизвестную высоту АМ. dzen.ru
5. Однако не известна боковая сторона ВС. dzen.ru Чтобы её найти, рассмотрим прямоугольный треугольник ВНС. dzen.ru
6. В прямоугольном треугольнике BHC катет НС равен половине стороны АС, так как в равнобедренном треугольнике АВС высота ВН является ещё и медианой, и, следовательно, делит сторону АС пополам. dzen.ru
7. По теореме Пифагора найдём гипотенузу ВС. dzen.ru
8. Найдём высоту АМ. dzen.ru

Таким образом, высота, проведённая к боковой стороне треугольника АВС, равна 24 см. dzen.ru