Функциональный анализ находит применение во многих областях алгебры и других точных наук. 12 Некоторые области использования:

• Теория дифференциальных уравнений. 14 Множество решений таких уравнений рассматривают как элементы соответствующих функциональных пространств. 4 Теории функционального анализа позволяют находить существование и единственность решений уравнений. 4
• Квантовая механика. 14 В этой области состояния физических систем моделируют как элементы гильбертовых пространств, а операторы, действующие на этих состояниях (например, операторы импульса и энергии), являются линейными операторами. 4 Основные идеи функционального анализа, включая спектральную теорию, применяют для изучения квантовых состояний и переходов между ними. 4
• Теория оптимизации. 4 Функциональный анализ используют в задачах оптимизации, например, при минимизации функционалов, задающих различные физические или экономические процессы. 4
• Численные методы. 4 Функциональный анализ применяют в методах приближённого решения уравнений в частных производных и других математических задачах, где необходимо работать с функциональными пространствами и операторами. 4
• Теория вероятностей и случайных процессов. 15 Активное применение методов функционального анализа связано с потребностью учитывать случайные явления в физике, экономике, социальных и биосистемах. 5

Функциональный анализ также может рассматриваться как часть теории преобразования Фурье, которая используется во многих областях науки и техники, например, в теории обработки изображений. 1