Как используется формула Гаусса-Бонне для вычисления площади искривленных поверхностей?

Формула Гаусса — Бонне не используется для вычисления площади искривлённых поверхностей, но она связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы. ru.ruwiki.ru

Согласно этой формуле, если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru При этом интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же, независимо от того, как будет произведена деформация. en.wikipedia.org

Например, если есть сфера с «вмятиной», то её общая кривизна будет равна 4π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубока вмятина. en.wikipedia.org