Как использовать теорему о трех перпендикулярах для решения геометрических задач?

Теорему о трёх перпендикулярах для решения геометрических задач используют следующим образом: если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. ege-study.ru

Некоторые примеры применения теоремы:

1. Задача о пирамиде МABC с высотой МA. www.kp.ru Известно, что в основании лежит прямоугольный треугольник с прямым углом C. www.kp.ru Нужно найти угол между рёбрами МC и BC. www.kp.ru Решение: так как по условию задачи МA — высота пирамиды, то МA ⊥ (ABC). www.kp.ru АС — проекция наклонной МC на плоскость ABC. www.kp.ru Так как AC ⊥ BC, то по теореме о трёх перпендикулярах МC ⊥ BC, следовательно, угол между МС и BC равен 90°. www.kp.ru
2. Задача о прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1. www.kp.ru AD = 5, DD1 = 5. www.kp.ru Нужно доказать, что прямые АD1 и А1С перпендикулярны. www.kp.ru Решение: прямая А1D является проекцией наклонной А1С на грань ADD1A1. www.kp.ru Грань ADD1A1 — квадрат, следовательно, прямая AD1 перпендикулярна проекции А1D. www.kp.ru Таким образом, прямая AD1 перпендикулярна А1С по теореме о трёх перпендикулярах. www.kp.ru

Также теорему о трёх перпендикулярах можно применить, например, при строительстве каркаса крыши: перпендикулярность проекций доказывает перпендикулярность наклонных, и в итоге скат крыши — прямоугольный треугольник. www.kp.ru