Как использовать теорему Лагранжа для доказательства возрастания и убывания функции?

Теорему Лагранжа используют для доказательства теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции. videouroki.net

Доказательство условия возрастания функции: app.onlineschool-1.ru

1. Взять две произвольные точки x1 и x2 из интервала (a;b), такие, что x1 < x2. app.onlineschool-1.ru
2. Применить теорему Лагранжа к отрезку x1;x2: fx2-fx1=f'(c)x2-x1, где c∈x1;x2. app.onlineschool-1.ru
3. По условию f'(c)>0 и так как x1 < x2, то x2-x1>0. app.onlineschool-1.ru
4. Тогда fx2-fx1>0, fx2>fx1, что означает, что функция f(x) возрастает на (a;b). app.onlineschool-1.ru

Доказательство условия убывания функции проводится аналогично. app.onlineschool-1.ru

Таким образом, если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и f'(x)>0 (f'(x)<0) для всех x∈(a;b), то функция возрастает (убывает) на интервале (a;b). app.onlineschool-1.ru