Как использовать принцип математической вероятности для расчета возможных сочетаний книг на книжной полке?

Для расчёта возможных сочетаний книг на книжной полке с использованием принципа математической вероятности можно применять комбинаторные приёмы. www.bolshoyvopros.ru

Один из способов — определение вероятности как отношения благоприятных случаев ко всем возможным. www.bolshoyvopros.ru Для этого нужно посчитать все возможные случаи и благоприятные. www.bolshoyvopros.ru

Пример: на книжную полку случайным образом поставили две книги М. Ю. Лермонтова и шесть книг Ф. М. Достоевского. www.bolshoyvopros.ru Нужно найти вероятность того, что книги Лермонтова не будут стоять рядом. www.bolshoyvopros.ru

Решение: www.bolshoyvopros.ru

1. Посчитаем все возможные случаи. www.bolshoyvopros.ru Всего 2 + 6 = 8 книг, значит, и мест под книги тоже 8. www.bolshoyvopros.ru Нужно узнать, сколько всего способов расставить 2 книги по 8 местам. www.bolshoyvopros.ru Это число размещений 2 из 8: A²₈ = 8! / (8−2)! = 8 | 7 = 56. www.bolshoyvopros.ru Для каждого такого способа по оставшимся 6 местам различным образом расставятся 6 книг. www.bolshoyvopros.ru Это количество перестановок 6 элементов: P₆ = 6!. www.bolshoyvopros.ru Значит, всего случаев будет 8 | 7 |* 6! = 8!. www.bolshoyvopros.ru
2. Посчитаем благоприятные случаи. www.bolshoyvopros.ru Сначала определим неблагоприятные — когда 2 книги Лермонтова стоят рядом. www.bolshoyvopros.ru Для этого пронумеруем их, например, 1-й том и 2-й. www.bolshoyvopros.ru Так как они вместе, представим, будто это одна книга. www.bolshoyvopros.ru Тогда возможно 2 варианта: (1 и 2) или (2 и 1). www.bolshoyvopros.ru Для каждого варианта получится 7 книг, то есть 7 мест. www.bolshoyvopros.ru Значит, вариантов будет по числу перестановок в 7 местах: P₇ = 7!. www.bolshoyvopros.ru Итого неблагоприятных вариантов будет 2 |* 7!. www.bolshoyvopros.ru
3. Определим благоприятные случаи. www.bolshoyvopros.ru Тогда их будет 8! — 2 | 7! = 7! | (8−2) = 6 |* 7!. www.bolshoyvopros.ru
4. Найдём искомую вероятность. www.bolshoyvopros.ru P = 6 |* 7! / 8! = 6 / 8 = 3 / 4 = 0,75. www.bolshoyvopros.ru

Для расчёта комбинаций, когда повторения запрещены и важен порядок, можно использовать формулу, в которой n — общее количество элементов, а r — количество выбранных элементов. math.stackexchange.com