Как использовать математическую индукцию для доказательства арифметических прогрессий?

Метод математической индукции помогает доказать истинность какого-то утверждения для всех натуральных чисел. blog.skillfactory.ru Идея метода в том, что если высказывание справедливо для любого произвольного числа в ряду, то оно будет верным для всех. blog.skillfactory.ru

Чтобы использовать математическую индукцию для доказательства арифметических прогрессий, нужно выполнить следующие шаги: blog.skillfactory.ru

1. Формулировка утверждения. blog.skillfactory.ru На этом этапе определяют утверждение, которое будут доказывать, его можно описать в виде формулы. blog.skillfactory.ru
2. База индукции. blog.skillfactory.ru Это проверка корректности высказывания для самого первого числа в ряду. blog.skillfactory.ru Как правило, это 0 или 1, но в зависимости от выбранного множества может быть и другое число. blog.skillfactory.ru
3. Предположение. blog.skillfactory.ru Вместо базового числа берут произвольное число k и предполагают, что для него верно это утверждение. blog.skillfactory.ru
4. Доказательство. math-info.hse.ru Доказывают, что если верны утверждения с номерами от начального номера до номера n, то верно и очередное утверждение с номером n + 1. math-info.hse.ru

Пример использования метода — доказательство формулы суммы арифметической прогрессии, где нужно показать, что сумма целых положительных чисел от 1 до N вычисляется по формуле N |* (N + 1) / 2. blog.skillfactory.ru

База индукции (N = 1). blog.skillfactory.ru Чтобы проверить истинность утверждения, нужно подставить число 1 в формулу: Sum = N |* (N + 1) / 2. blog.skillfactory.ru При N = 1 Sum = 1 |* (1 + 1) / 2 = 1 |* 2 / 2 = 1. blog.skillfactory.ru Получается, что сумма всех чисел от 1 до 1 равна единице. blog.skillfactory.ru Высказывание верно для базового числа. blog.skillfactory.ru

Шаг индукции. blog.skillfactory.ru Вместо базового числа берут произвольное число k и предполагают, что для него верно это утверждение. blog.skillfactory.ru Затем берут сумму чисел от 1 до k, к ней прибавляют (k + 1) — следующее число ряда, и получают сумму от 1 до (k + 1). blog.skillfactory.ru В правой части используют ту же формулу, но вместо k в неё подставляют k + 1. blog.skillfactory.ru Если высказывание верно, в результате вычислений получится та же самая сумма от 1 до k + 1. blog.skillfactory.ru

После составления уравнения нужно выяснить, точно ли левая часть равна правой. blog.skillfactory.ru Для этого необходимо преобразовать и упростить формулу по законам алгебры. blog.skillfactory.ru