Метод математической индукции помогает доказать истинность какого-то утверждения для всех натуральных чисел. 1 Идея метода в том, что если высказывание справедливо для любого произвольного числа в ряду, то оно будет верным для всех. 1
Чтобы использовать математическую индукцию для доказательства арифметических прогрессий, нужно выполнить следующие шаги: 1
Пример использования метода — доказательство формулы суммы арифметической прогрессии, где нужно показать, что сумма целых положительных чисел от 1 до N вычисляется по формуле N * (N + 1) / 2. 1
База индукции (N = 1). 1 Чтобы проверить истинность утверждения, нужно подставить число 1 в формулу: Sum = N * (N + 1) / 2. 1 При N = 1 Sum = 1 * (1 + 1) / 2 = 1 * 2 / 2 = 1. 1 Получается, что сумма всех чисел от 1 до 1 равна единице. 1 Высказывание верно для базового числа. 1
Шаг индукции. 1 Вместо базового числа берут произвольное число k и предполагают, что для него верно это утверждение. 1 Затем берут сумму чисел от 1 до k, к ней прибавляют (k + 1) — следующее число ряда, и получают сумму от 1 до (k + 1). 1 В правой части используют ту же формулу, но вместо k в неё подставляют k + 1. 1 Если высказывание верно, в результате вычислений получится та же самая сумма от 1 до k + 1. 1
После составления уравнения нужно выяснить, точно ли левая часть равна правой. 1 Для этого необходимо преобразовать и упростить формулу по законам алгебры. 1