Григорий Перельман доказал гипотезу Пуанкаре, используя методы дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений. 1 Ключевым инструментом стали потоки Ричи, которые описывают, как поверхность деформируется под действием определённых правил. 1

Главной проблемой потоков Ричи были сингулярности — точки, в которых поверхность теряет непрерывность. 1 Перельман нашёл способ справиться с этими сингулярностями, используя метод, называемый хирургией: перед тем, как сингулярность возникнет, он разрезал поверхность и «заклеивал» образовавшиеся дыры, продолжая деформацию поверхности. 1 Этот метод позволил избежать точек, в которых поверхность становилась бы несостоятельной, и позволил потокам Ричи продолжать свою работу по сглаживанию поверхности. 1

Доказательство гипотезы Пуанкаре изменило математику следующим образом:

• Оно не только подтвердило догадки Пуанкаре, но и продемонстрировало мощь современных математических методов и интердисциплинарного подхода, объединяющего топологию, геометрию и теорию дифференциальных уравнений. 1
• Решение задачи, над которой бились лучшие умы мира на протяжении более ста лет, послужило мощным стимулом для дальнейших исследований в области топологии и смежных областях. 2 Это привело к появлению новых подходов и инструментов, расширивших возможности решения сложных математических задач. 2
• Доказательство гипотезы Пуанкаре привело к развитию новых областей математики, таких как квантовые когомологии. 7