Гипотеза Пуанкаре связана с четырёхмерным пространством и сферой следующим образом: она утверждает, что все трёхмерные поверхности в четырёхмерном пространстве, гомотопически эквивалентные сфере, гомеоморфны ей (преобразуются в неё). 27

Проще говоря, если любая трёхмерная поверхность чем-то похожа на сферу, то преобразующая её деформация всегда приводит к сфере. 2

Трёхмерная сфера в этом случае — это поверхность четырёхмерного шара. 59 Традиционная единичная сфера в трёхмерном пространстве включает в себя все точки, расположенные на расстоянии 1 от заданной точки — центра сферы. 10 Аналогично, единичная трёхмерная сфера в четырёхмерном пространстве включает в себя все точки, расположенные на единичном расстоянии от её центра. 10