Гёдель использовал теорему о неполноте, чтобы показать, что никакая мощная формальная система не может быть одновременно полной и непротиворечивой. 1

Идея доказательства заключалась в том, чтобы построить пример формулы, которая была бы и недоказуема, и одновременно содержательно истинна. 4 Для этого Гёдель приписал каждому символу, формуле или доказательству рассматриваемой системы номер — натуральное число (гёделева нумерация). 4

Далее он построил формулу, которая содержательно утверждает свою собственную недоказуемость, то есть невыводимость из аксиом рассматриваемой формальной системы (так называемое гёделево предложение). 4

Если эта формула в системе доказуема, то возникает противоречие, так как формула утверждает, что она недоказуема. 4 Если формула недоказуема, то она истинна, так как утверждает, что она недоказуема и на самом деле недоказуема. 4

Таким образом, внутри системы обнаруживается утверждение, которое верно, но не может быть доказано (при условии непротиворечивости системы). 1

Это поставило под вопрос «Программу Гильберта», целью которой было обоснование всей математики посредством надёжной формализации. 1 Один из ключевых пунктов заключался в том, чтобы доказать непротиворечивость основных математических систем. 1 Гёдель фактически сказал: «Вы не сможете этого сделать в самой системе, нужно идти за её пределы». 1