Как Гёдель использовал теорему о неполноте для доказательства невозможности доказать непротиворечивость математики?

Гёдель использовал теорему о неполноте, чтобы показать, что никакая мощная формальная система не может быть одновременно полной и непротиворечивой. www.securitylab.ru

Идея доказательства заключалась в том, чтобы построить пример формулы, которая была бы и недоказуема, и одновременно содержательно истинна. proza.ru Для этого Гёдель приписал каждому символу, формуле или доказательству рассматриваемой системы номер — натуральное число (гёделева нумерация). proza.ru

Далее он построил формулу, которая содержательно утверждает свою собственную недоказуемость, то есть невыводимость из аксиом рассматриваемой формальной системы (так называемое гёделево предложение). proza.ru

Если эта формула в системе доказуема, то возникает противоречие, так как формула утверждает, что она недоказуема. proza.ru Если формула недоказуема, то она истинна, так как утверждает, что она недоказуема и на самом деле недоказуема. proza.ru

Таким образом, внутри системы обнаруживается утверждение, которое верно, но не может быть доказано (при условии непротиворечивости системы). www.securitylab.ru

Это поставило под вопрос «Программу Гильберта», целью которой было обоснование всей математики посредством надёжной формализации. www.securitylab.ru Один из ключевых пунктов заключался в том, чтобы доказать непротиворечивость основных математических систем. www.securitylab.ru Гёдель фактически сказал: «Вы не сможете этого сделать в самой системе, нужно идти за её пределы». www.securitylab.ru