Галилей предвосхитил работы в области бесконечных чисел, сформулировав парадокс. 12 В своей последней работе «Две науки» он привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах. 1

Первое суждение: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел), другие же числа таким свойством не обладают. 1 Таким образом, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. 1

Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. 1

Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств. 1 В XIX веке Георг Кантор, используя свою теорию множеств, показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств — так называемую мощность множества. 1 При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе суждение Галилея). 1