Как Галилей предвосхитил работы в области бесконечных чисел?

Галилей предвосхитил работы в области бесконечных чисел, сформулировав парадокс. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru В своей последней работе «Две науки» он привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах. ru.wikipedia.org

Первое суждение: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел), другие же числа таким свойством не обладают. ru.wikipedia.org Таким образом, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. ru.wikipedia.org

Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. ru.wikipedia.org

Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств. ru.wikipedia.org В XIX веке Георг Кантор, используя свою теорию множеств, показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств — так называемую мощность множества. ru.wikipedia.org При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе суждение Галилея). ru.wikipedia.org