Как формула включений-исключений применяется в задачах о беспорядках?

Формула включений-исключений применяется в задачах о беспорядках для нахождения числа перестановок. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Пусть U — множество всех перестановок p, и пусть свойство a i перестановки выражается равенством p i = i. infourok.ru Тогда число беспорядков есть N(a 1, a 2,…, a n). infourok.ru Формула включений-исключений даёт выражение для числа D n беспорядков. infourok.ru

Пример задачи о беспорядках: в аудитории находятся 30 человек. infourok.ru Каждый из присутствующих может как знать, так и не знать каждый из трёх языков: английский, немецкий и французский. infourok.ru Пусть английским языком владеют 20 из 30 человек, французским — 5 человек, немецким — также 5 человек. infourok.ru Одновременно английский и французский знают 2 человека, английский и немецкий — 2 человека, немецкий и французский — 1, и один человек знает все три языка. infourok.ru Сколько человек не знают ни одного из этих трёх языков? infourok.ru

Для начала необходимо из 30 человек в аудитории исключить людей, которые знают какой-либо из трёх языков. infourok.ru Однако таким образом некоторые люди были исключены дважды. infourok.ru Чтобы компенсировать это, их количество следует прибавить. infourok.ru В итоге число людей, которые не знают ни одного из трёх языков, равно 4. infourok.ru