Формула включений-исключений применяется в задачах о беспорядках для нахождения числа перестановок. 35

Пусть U — множество всех перестановок p, и пусть свойство a i перестановки выражается равенством p i = i. 1 Тогда число беспорядков есть N(a 1, a 2,…, a n). 1 Формула включений-исключений даёт выражение для числа D n беспорядков. 1

Пример задачи о беспорядках: в аудитории находятся 30 человек. 1 Каждый из присутствующих может как знать, так и не знать каждый из трёх языков: английский, немецкий и французский. 1 Пусть английским языком владеют 20 из 30 человек, французским — 5 человек, немецким — также 5 человек. 1 Одновременно английский и французский знают 2 человека, английский и немецкий — 2 человека, немецкий и французский — 1, и один человек знает все три языка. 1 Сколько человек не знают ни одного из этих трёх языков? 1

Для начала необходимо из 30 человек в аудитории исключить людей, которые знают какой-либо из трёх языков. 1 Однако таким образом некоторые люди были исключены дважды. 1 Чтобы компенсировать это, их количество следует прибавить. 1 В итоге число людей, которые не знают ни одного из трёх языков, равно 4. 1