Как формировалось значение слова махать в русском языке?

По одной из версий, глагол «махать» в русском языке образован расширением на -х- от основы «маять». lexicography.online proza.ru

Есть и другая версия, согласно которой слово «махать» образовано от древнееврейского «маш, муш» (מש, מוש — «передвигать, перемещать, удалять, отделять, отщеплять; изменять, производить смену»). anti-fasmer.livejournal.com

Впервые в русском языке глагол «махать» упоминается в XII веке и изначально имел значение «производить движения по воздуху», в частности «махать руками». lexicography.online