Факторизация может помочь в решении систем уравнений следующим образом: она позволяет разбить одну линейную систему уравнений на две последовательные, решение которых легче найти. 1

Например, метод LU-факторизации предполагает представление матрицы в виде произведения двух матриц: нижней треугольной (L) и верхней треугольной (U). 3 Если известно LU-разложение матрицы, исходная система уравнений решается в два шага: 3

1. На первом шаге решается система L * U = b, так как L — нижняя треугольная матрица, эта система решается прямой подстановкой. 3
2. На втором шаге решается система U * x = y, так как U — верхняя треугольная матрица, эта система решается обратной подстановкой. 3

Преимущество метода LU-факторизации в сравнении с методом Гаусса — возможность более быстрого получения решений для различных векторов свободных членов, а также для транспонированной системы уравнений. 3