Как эффективно вычислить обратный элемент в кольце по модулю с помощью алгоритма Евклида?

Для эффективного вычисления обратного элемента в кольце по модулю с помощью алгоритма Евклида необходимо выполнить следующие шаги: ilovecalc.com

1. Представить наибольший общий делитель числа a и модуля m в виде ax + my. ilovecalc.com То есть НОД(a, m) = ax + my. ilovecalc.com
2. Учесть, что обратный элемент существует только тогда, когда a и m взаимно просты, то есть их НОД(a, m) = 1. foxford.ru ilovecalc.com
3. Решить линейное диофантово уравнение второго порядка ax + my = 1 в целых числах и найти x, y. ilovecalc.com
4. Найденный коэффициент x будет являться обратным элементом к a по модулю m. ilovecalc.com

Пример: нужно найти обратный элемент к 3 по модулю 7. ilovecalc.com После выполнения алгоритма получим, что обратным элементом к 3 по модулю 7 является x = -2. ilovecalc.com По модулю 7 число -2 равно 5. ilovecalc.com

Для работы с алгоритмом можно использовать онлайн-калькуляторы, например на сайте ilovecalc.com. ilovecalc.com