Как древние греки определяли площадь круга без использования интегрального исчисления?

Древние греки, не зная интегрального исчисления, использовали другие методы для определения площади круга. 1

Антифон (V в. до н. э.) для решения задачи о квадратуре круга вписывал в него правильный многоугольник, а затем делил пополам дуги, стягиваемые его сторонами. 2 Получался вписанный многоугольник, с которым Антифон поступал аналогичным образом. 2 Так он действовал до тех пор, пока, по его мнению, не получался многоугольник, который, ввиду малости длин его сторон, совпадал с окружностью. 2 Поскольку всякий многоугольник можно преобразовать в равновеликий ему квадрат, отсюда и вытекала возможность решения задачи. 2

Бризон при решении задачи о квадратуре круга и длине окружности не только вписывал в круг, но и описывал около него соответствующие правильные многоугольники. 2 Так как площадь круга больше площади вписанного и меньше площади описанного многоугольников, то Бризон утверждал, что площадь круга есть среднее арифметическое площади вписанного и описанного многоугольников. 2

Архимед в III в. до н. э. использовал методы евклидовой геометрии и показал в своей книге «Измерение круга», что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу окружности. 3