Древние геометры доказывали существование и единственность описанной окружности для произвольного треугольника следующим образом: 35

1. Существование окружности. 5 Рассмотрим треугольник ABC. 5 Проведём в нём серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке O, и соединим её с вершинами треугольника. 5 Построим окружность с центром в точке O и радиусом OC. 5 Точка O равноудалена от вершин треугольника, то есть OA=OB=OC. 5 Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника. 5
2. Единственность. 5 Предположим, что около треугольника ABC можно описать ещё одну окружность с центром в точке O'. 5 Её центр равноудалён от вершин треугольника, а следовательно, совпадает с точкой O и имеет радиус, равный длине OC. 5 Но тогда эта окружность совпадет с первой. 5