Доказательство теоремы Ролля: 14

1. Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала. 1
2. Если же нет, то, поскольку функция непрерывна на отрезке, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум. 1
3. По лемме Ферма производная в этой точке равна 0. 1

Таким образом, если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наименьшее и наибольшее значения, и по крайней мере одно из них достигается во внутренней точке интервала, в которой производная равна нулю. 23