Как доказать теорему о свойстве касательной к окружности?

Теорема о свойстве касательной к окружности гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 3

Доказательство проводится методом «от противного»: 3

1. Пусть дана окружность с центром в точке O и касательная прямая a, касающаяся окружности в точке A. 1 Нужно доказать, что радиус OA перпендикулярен прямой a. 1
2. Предположим, что радиус OA не перпендикулярен прямой a. 1 Тогда из точки O на прямую a можно опустить перпендикуляр OB, где B — некоторая точка на прямой a. 1
3. Поскольку OB — перпендикуляр, а OA — наклонная к прямой a (по предположению, OA не перпендикуляр), то длина перпендикуляра меньше длины наклонной: OB < OA. 1
4. По определению, OA — это радиус окружности. 1 Неравенство OB < OA означает, что расстояние от центра O до точки B меньше радиуса окружности. 1 Следовательно, точка B лежит внутри окружности. 1
5. Таким образом, прямая a проходит через точку A на окружности и точку B внутри окружности. 1 Прямая, проходящая через точку внутри окружности, является секущей и пересекает окружность в двух точках. 1
6. Это противоречит определению касательной, которая имеет с окружностью только одну общую точку A. 1
7. Следовательно, предположение о том, что OA не перпендикулярен прямой a, неверно. 1
8. Значит, радиус OA должен быть перпендикулярен касательной a. 1 Теорема доказана. 1