Как доказать теорему о свойстве касательной к окружности?

Теорема о свойстве касательной к окружности гласит, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. spravochnick.ru

Доказательство проводится методом «от противного»: spravochnick.ru

1. Пусть дана окружность с центром в точке O и касательная прямая a, касающаяся окружности в точке A. otvet.mail.ru Нужно доказать, что радиус OA перпендикулярен прямой a. otvet.mail.ru
2. Предположим, что радиус OA не перпендикулярен прямой a. otvet.mail.ru Тогда из точки O на прямую a можно опустить перпендикуляр OB, где B — некоторая точка на прямой a. otvet.mail.ru
3. Поскольку OB — перпендикуляр, а OA — наклонная к прямой a (по предположению, OA не перпендикуляр), то длина перпендикуляра меньше длины наклонной: OB < OA. otvet.mail.ru
4. По определению, OA — это радиус окружности. otvet.mail.ru Неравенство OB < OA означает, что расстояние от центра O до точки B меньше радиуса окружности. otvet.mail.ru Следовательно, точка B лежит внутри окружности. otvet.mail.ru
5. Таким образом, прямая a проходит через точку A на окружности и точку B внутри окружности. otvet.mail.ru Прямая, проходящая через точку внутри окружности, является секущей и пересекает окружность в двух точках. otvet.mail.ru
6. Это противоречит определению касательной, которая имеет с окружностью только одну общую точку A. otvet.mail.ru
7. Следовательно, предположение о том, что OA не перпендикулярен прямой a, неверно. otvet.mail.ru
8. Значит, радиус OA должен быть перпендикулярен касательной a. otvet.mail.ru Теорема доказана. otvet.mail.ru