Для доказательства теоремы о параллельных прямых в пространстве можно использовать следующую схему: 1

1. Доказательство существования параллельной прямой. 1 Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α. 1 В этой плоскости из аксиомы планиметрии о параллельных прямых следует, что можно провести единственную прямую b, параллельную прямой а и проходящую через точку M. 1 Существование такой прямой доказано. 1
2. Доказательство единственности параллельной прямой. 1 Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. 1 Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. 1 Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. 1 Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость, значит, плоскости β и α совпадают. 1 Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. 1 Единственность доказана. 1

Ещё одна лемма, которая помогает в доказательстве, гласит: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. 14