Как доказать теорему о параллельных прямых в пространстве?

Для доказательства теоремы о параллельных прямых в пространстве можно использовать следующую схему: lc.rt.ru

1. Доказательство существования параллельной прямой. lc.rt.ru Через прямую и точку, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α. lc.rt.ru В этой плоскости из аксиомы планиметрии о параллельных прямых следует, что можно провести единственную прямую b, параллельную прямой а и проходящую через точку M. lc.rt.ru Существование такой прямой доказано. lc.rt.ru
2. Доказательство единственности параллельной прямой. lc.rt.ru Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. lc.rt.ru Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. lc.rt.ru Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. lc.rt.ru Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость, значит, плоскости β и α совпадают. lc.rt.ru Из аксиомы параллельных прямых следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. lc.rt.ru Единственность доказана. lc.rt.ru

Ещё одна лемма, которая помогает в доказательстве, гласит: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. lc.rt.ru app.onlineschool-1.ru