Одно из доказательств теоремы косинусов в 9 классе: 3

1. Дан треугольник ABC, из вершины C на сторону AB опущена высота CD. 13 Значит, AD = b cos α, DB = c – b cos α. 13
2. Записываем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC: h2 = b2 - (b cos α)2 (1) и h2 = a2 - (c – b cos α)2 (2). 13
3. Так как левые части у этих уравнений равны, приравниваем правые части и записываем их: b2 - (b cos α)2 = a2 - (c - b cos α)2 или a2 = b2 + c2 - 2bc cos α. 3
4. Теорема доказана. 3

Ещё одно доказательство с использованием формулы длины отрезка в координатах: 25

1. BC — это сторона треугольника ABC, обозначенная буквой а. 25
2. Вводим удобную систему координат и находим координаты нужных точек: у точки В координаты (с; 0), а координаты точки С — (b cos α; b sin α) при α ∈ (0° ; 180°). 25
3. По формуле расстояния между двумя точками получаем: BC2 = a2 = (b cos α - c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α - 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) - 2bc cos α + c2. 24
4. Что и требовалось доказать. 25