Доказательство теоремы Фалеса можно провести следующим образом: 15

1. Пусть параллельные прямые A1B1, A2B2 и A3B3 пересекают стороны угла AOB, причём A1A2 = A2A3 (рис. 2). 5 Требуется доказать, что B1B2 = B2B3. 5
2. Проведём B1L и B2M параллельно OA (B1L пересекает A2B2 в точке K). 5 Четырёхугольники A1A2KB1 и A2A3M B2 — параллелограммы, поэтому B1K = A1A2 и B2M = A2A3. 5 Значит, B1K = B2M. 5
3. Далее, углы B1KB2, KLM и B2M B3 равны как соответственные при параллельных прямых. 5 По той же причине равны углы KB1B2 и M B2B3. 5
4. Таким образом, треугольники B1KB2 и B2M B3 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. 5 Отсюда следует, что B1B2 = B2B3. 5

Теорема Фалеса доказана. 5