Существование предела у монотонной и ограниченной последовательности доказывается с помощью теоремы Вейерштрасса. 13

Доказательство для неубывающей ограниченной последовательности: 3

1. Поскольку последовательность неубывающая, то для всех n выполняются неравенства. 3
2. Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную верхнюю границу. 3
3. Для любого положительного числа существует такой номер, зависящий от ε, так что для всех n выполняется определённое неравенство. 3
4. Поскольку последовательность неубывающая, то при определённом значении n имеем: для всех n выполняется другое неравенство. 3
5. Комбинируя с предыдущим, находим: для всех n выполняется определённое неравенство. 3
6. Поскольку для любого положительного числа существует такой номер, то для всех n выполняется определённое неравенство, что и означает, что число является пределом последовательности. 3

Доказательство для невозрастающей ограниченной последовательности: 3

1. Поскольку последовательность ограничена, то она имеет конечную точную нижнюю границу. 3
2. Для любого положительного числа существует такой номер, зависящий от ε, для которого выполняется определённое неравенство. 3
3. Поскольку последовательность невозрастающая, то при определённом значении n имеем: для всех n выполняется другое неравенство. 3
4. Учитывая предыдущее, находим: для всех n выполняется определённое неравенство, что и означает, что число является пределом последовательности. 3

Теорема Вейерштрасса не даёт каких-либо методов для нахождения предела последовательности. 1