Чтобы доказать равносильность преобразований иррациональных уравнений, можно использовать определение равносильности уравнений. 35 Два уравнения называются равносильными, если множество корней первого уравнения совпадает с множеством корней второго уравнения. 5

Некоторые теоремы, которые помогают доказать равносильность преобразований иррациональных уравнений:

• Теорема о переносе члена уравнения. 5 Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то полученное уравнение будет равносильно исходному. 5
• Теорема о возведении в степень. 45 Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то полученное уравнение будет равносильно исходному. 5
• Теорема о умножении на выражение. 5 Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение, которое определено для каждого значения переменной из области допустимых значений (ОДЗ) уравнения и ни для какого значения переменной из ОДЗ уравнения не обращается в 0, то полученное уравнение будет равносильно исходному. 5
• Теорема о возведении в чётную степень. 5 Если обе части уравнения неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень полученное уравнение будет равносильно исходному. 5

При преобразовании иррациональных выражений важно учитывать ОДЗ и не допускать её сужения. 1