Доказательство правила Лопиталя можно найти в любом учебнике по математическому анализу. 2

Один из вариантов доказательства: 3

Пусть даны функции f(x) и g(x), причём наблюдается равенство пределов: lim(x→a+0) f(x) = lim(x→a+0) g(x) = 0. 3

Доопределим функции в точке a. 3 Для этой точки будет справедливым условие: f(x) / g(x) = (f(x) - f(a)) / (g(x) - g(a)) = (f'(c)) / (g'(c)). 3

Ещё одно доказательство представлено в научной статье И. Б. Казакова на сайте cyberleninka.ru. 4 В нём, кроме определения предела функции по Коши, используется определение предела функции по Гейне. 4 В качестве вспомогательного утверждения применяется теорема о единственном частичном пределе. 4