Чтобы доказать основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1, можно использовать тему единичной окружности: 34

1. Пусть даны координаты точки А (1, 0), которая после поворота на угол α становится в точку А1. 4 По определению sin и cos точка А1 получит координаты (cos α, sin α). 4
2. Так как А1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворять условию x2 + y2 = 1 этой окружности. 4
3. Поворачиваем точку А с координатами (1, 0) вокруг центральной точки О на угол α. 4 После поворота точка меняет координаты и становится равной А1(х, у). 4
4. Опускаем перпендикулярную прямую А1Н на Ох из точки А1. 4 Образовался прямоугольный треугольник ОА1Н. 4
5. По модулю катеты ОА1Н и ОН равные. 4 Гипотенуза ОА1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности. 4
6. Используя данное выражение, можно записать равенство по теореме Пифагора: 4 |А1Н|2 + |ОН|2 = |ОА1|2. 4
7. Это равенство запишем как |y|2 + |x|2 = 12, что означает y2 + x2 = 1. 3
8. Используя определение sin α = y и cos α = x, подставим данные угла вместо координат точек и перейдём к неравенству sin2α + cos2α = 1. 3

Что и требовалось доказать. 3