Как доказать основное тригонометрическое тождество?

Чтобы доказать основное тригонометрическое тождество sin2α + cos2α = 1, можно использовать тему единичной окружности: skysmart.ru zaochnik-com.com

1. Пусть даны координаты точки А (1, 0), которая после поворота на угол α становится в точку А1. zaochnik-com.com По определению sin и cos точка А1 получит координаты (cos α, sin α). zaochnik-com.com
2. Так как А1 находится в пределах единичной окружности, значит, координаты должны удовлетворять условию x2 + y2 = 1 этой окружности. zaochnik-com.com
3. Поворачиваем точку А с координатами (1, 0) вокруг центральной точки О на угол α. zaochnik-com.com После поворота точка меняет координаты и становится равной А1(х, у). zaochnik-com.com
4. Опускаем перпендикулярную прямую А1Н на Ох из точки А1. zaochnik-com.com Образовался прямоугольный треугольник ОА1Н. zaochnik-com.com
5. По модулю катеты ОА1Н и ОН равные. zaochnik-com.com Гипотенуза ОА1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности. zaochnik-com.com
6. Используя данное выражение, можно записать равенство по теореме Пифагора: zaochnik-com.com |А1Н|2 + |ОН|2 = |ОА1|2. zaochnik-com.com
7. Это равенство запишем как |y|2 + |x|2 = 12, что означает y2 + x2 = 1. skysmart.ru
8. Используя определение sin α = y и cos α = x, подставим данные угла вместо координат точек и перейдём к неравенству sin2α + cos2α = 1. skysmart.ru

Что и требовалось доказать. skysmart.ru