Чтобы доказать неравенство треугольника с помощью соотношений между сторонами и углами, можно воспользоваться следующим алгоритмом: 3

1. Сделать дополнительное построение: отложить на продолжении стороны отрезок, равный другой стороне. 3
2. По построению отрезок будет равен другой стороне, следовательно, треугольник будет равнобедренным с основанием. 3
3. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то одна сторона будет меньше другой. 13
4. При этом сумма двух других сторон будет равна сумме двух других сторон, так как по построению отрезок равен другой стороне. 3
5. Значит, первая сторона будет меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать. 3

Пример доказательства неравенства треугольника для треугольника ABC: 1

1. На продолжении стороны AC отложим отрезок CM, равный BC. 1
2. Треугольник CMB — равнобедренный, значит, угол CBM = угол CMB. 1
3. В треугольнике ABM угол ABM > угол CBM, и, значит, угол ABM > угол BMC. 1
4. Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то AB < AM. 1
5. Но AM = AC + CM = AC + CB, поэтому AB < AC + CB. 1