Неравенство между средним арифметическим, геометрическим и гармоническим является частным случаем неравенства о средних (неравенства Коши). 13

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году. 3

Некоторые аспекты доказательства:

• Случай для двух чисел (n = 2). 4 Например, можно рассмотреть неравенство, в котором левая часть — среднее геометрическое, правая — среднее арифметическое. 4 Нужно умножить каждую часть на 2, а так как последнее выражение — это квадрат какого-либо числа, то из этого вытекает истинность равенства. 4
• Случай для произвольного количества чисел. 4 Можно доказать, что если n — степень двойки, то неравенство верно. 4 Для этого нужно предположить, что оно истинно для одного из чисел, и показать справедливость при большем на 1 количестве слагаемых. 2

На сайте rutube.ru есть видео, в котором доказаны неравенства между основными средними: средним арифметическим, средним геометрическим, средним квадратическим и средним гармоническим. 5