Как доказать неравенство Бернулли методом математической индукции?

Чтобы доказать неравенство Бернулли (1 + x)n ≥ 1 + nx с помощью метода математической индукции, нужно выполнить следующие шаги: school-science.ru

1. База индукции. xn--d1abbusdciv.xn--p1ai Проверить, что утверждение верно для простейшего частного случая, например n = 1. school-science.ru В этом случае неравенство справедливо, так как 1 + x ≥ 1 + x. school-science.ru
2. Индукционное предположение. xn--d1abbusdciv.xn--p1ai Предположить, что утверждение верно для некоторого значения n = k, то есть (1 + x)k ≥ 1 + kx. school-science.ru mathmonks.com
3. Индукционный переход. xn--d1abbusdciv.xn--p1ai Доказать, что утверждение справедливо для n = k + 1. xn--d1abbusdciv.xn--p1ai Для этого нужно умножить обе части неравенства на положительное число 1 + x. school-science.ru Получится (1 + x)k + 1 ≥ (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx2. school-science.ru
4. Вывод. school-science.ru На основании метода математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого натурального числа n. school-science.ru

Таким образом, из допущения, что неравенство верно для n = k, следует, что оно верно для n = k + 1. school-science.ru