Как доказать непрерывность функции на отрезке с помощью теоремы Вейерштрасса?

Чтобы доказать непрерывность функции на отрезке с помощью теоремы Вейерштрасса, можно использовать первую теорему об ограниченности непрерывной на отрезке функции. 1cov-edu.ru www.berdov.com

Доказательство: 1cov-edu.ru

1. Допустим противное: пусть функция не ограничена на отрезке [a, b]. 1cov-edu.ru Это означает, что для любого всегда можно найти такое x, что |f(x)| > M. 1cov-edu.ru
2. Задавая последовательно значения x, получим последовательность, элементы которой принадлежат отрезку. 1cov-edu.ru
3. Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу c. 1cov-edu.ru Эту подпоследовательность обозначим как xn 1cov-edu.ru .
4. Поскольку |f(xn)| > nk, то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами, |f(xn)| > c. 1cov-edu.ru
5. Далее есть подпоследовательность последовательности xn, которая имеет бесконечный предел +∞. 1cov-edu.ru Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то |f(xn)| = ∞. 1cov-edu.ru
6. Это противоречит определению непрерывности по Гейне, согласно которому предел последовательности должен равняться конечному числу — значению функции в точке c. 1cov-edu.ru
7. Следовательно, исходное предположение не верно, и теорема доказана. www.berdov.com

Ещё одна теорема Вейерштрасса, которая помогает доказать непрерывность функции на отрезке, — вторая теорема о максимуме и минимуме непрерывной функции. 1cov-edu.ru Она утверждает, что непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих нижней и верхней граней или, что то же самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума. 1cov-edu.ru