Чтобы доказать непрерывность функции на отрезке с помощью теоремы Вейерштрасса, можно использовать первую теорему об ограниченности непрерывной на отрезке функции. 34

Доказательство: 3

1. Допустим противное: пусть функция не ограничена на отрезке [a, b]. 3 Это означает, что для любого всегда можно найти такое x, что |f(x)| > M. 3
2. Задавая последовательно значения x, получим последовательность, элементы которой принадлежат отрезку. 3
3. Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из неё можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу c. 3 Эту подпоследовательность обозначим как xn3.
4. Поскольку |f(xn)| > nk, то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами, |f(xn)| > c. 3
5. Далее есть подпоследовательность последовательности xn, которая имеет бесконечный предел +∞. 3 Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то |f(xn)| = ∞. 3
6. Это противоречит определению непрерывности по Гейне, согласно которому предел последовательности должен равняться конечному числу — значению функции в точке c. 3
7. Следовательно, исходное предположение не верно, и теорема доказана. 4

Ещё одна теорема Вейерштрасса, которая помогает доказать непрерывность функции на отрезке, — вторая теорема о максимуме и минимуме непрерывной функции. 3 Она утверждает, что непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих нижней и верхней граней или, что то же самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума. 3