Как доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне?

Чтобы доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне, можно провести следующие рассуждения: 1cov-edu.ru

1. Гейне ⇒ Коши. 1cov-edu.ru Пусть функция имеет в точке предел a согласно определению по Гейне. 1cov-edu.ru То есть для любой последовательности, принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел, предел последовательности равен a. 1cov-edu.ru Тогда нужно показать, что функция имеет предел в точке по Коши. 1cov-edu.ru Для этого допустим противное: пусть условия выполнены, но функция не имеет предела по Коши. 1cov-edu.ru Тогда существует такое число, что для любого другого числа существует такое, что для всех выполняется определённое условие. 1cov-edu.ru Возьмём n-е число, тогда существует такое, причём для всех n-х чисел выполняется определённое условие. 1cov-edu.ru Таким образом, мы построили последовательность, сходящуюся к определённому числу, но предел последовательности не равен a. 1cov-edu.ru Это противоречит условию теоремы. 1cov-edu.ru
2. Коши ⇒ Гейне. 1cov-edu.ru Пусть функция имеет в точке предел a согласно определению по Коши. 1cov-edu.ru Тогда нужно показать, что функция имеет предел a в точке по Гейне. 1cov-edu.ru Возьмём произвольное число. 1cov-edu.ru Согласно определению Коши, существует число, так что для всех выполняется определённое условие. 1cov-edu.ru Возьмём произвольную последовательность, принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к определённому числу. 1cov-edu.ru По определению сходящейся последовательности, для любого числа существует такое, что при определённом условии. 1cov-edu.ru

Таким образом, из существования предела по Коши вытекает существование предела по Гейне и наоборот. chem.msu.ru