Чтобы доказать эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне, можно провести следующие рассуждения: 1

1. Гейне ⇒ Коши. 1 Пусть функция имеет в точке предел a согласно определению по Гейне. 1 То есть для любой последовательности, принадлежащей проколотой окрестности точки и имеющей предел, предел последовательности равен a. 1 Тогда нужно показать, что функция имеет предел в точке по Коши. 1 Для этого допустим противное: пусть условия выполнены, но функция не имеет предела по Коши. 1 Тогда существует такое число, что для любого другого числа существует такое, что для всех выполняется определённое условие. 1 Возьмём n-е число, тогда существует такое, причём для всех n-х чисел выполняется определённое условие. 1 Таким образом, мы построили последовательность, сходящуюся к определённому числу, но предел последовательности не равен a. 1 Это противоречит условию теоремы. 1
2. Коши ⇒ Гейне. 1 Пусть функция имеет в точке предел a согласно определению по Коши. 1 Тогда нужно показать, что функция имеет предел a в точке по Гейне. 1 Возьмём произвольное число. 1 Согласно определению Коши, существует число, так что для всех выполняется определённое условие. 1 Возьмём произвольную последовательность, принадлежащую проколотой окрестности и сходящуюся к определённому числу. 1 По определению сходящейся последовательности, для любого числа существует такое, что при определённом условии. 1

Таким образом, из существования предела по Коши вытекает существование предела по Гейне и наоборот. 2