Как доказать, что подпространство сепарабельного пространство сепарабельно?

Чтобы доказать, что подпространство сепарабельного пространства сепарабельно, можно использовать следующий подход для метрических пространств: yandex.ru math.stackexchange.com

1. Показать, что сепарабельность эквивалентна существованию счётной базы топологии. yandex.ru Для этого нужно взять по точке в каждом множестве счётной базы топологии и получить всюду плотное множество. yandex.ru Также можно взять счётное всюду плотное множество S и проверить, что все шары рациональных радиусов с центрами в точках множества S образуют базу топологии. yandex.ru
2. Определить, что базу индуцированной топологии подпространства образуют пересечения элементов базы топологии объёмлющего пространства с этим подпространством. yandex.ru
3. Сделать вывод, что любое подпространство сепарабельного метрического пространства имеет счётную базу, то есть является сепарабельным. yandex.ru math.stackexchange.com