Чтобы доказать, что подпространство сепарабельного пространства сепарабельно, можно использовать следующий подход для метрических пространств: 14

1. Показать, что сепарабельность эквивалентна существованию счётной базы топологии. 1 Для этого нужно взять по точке в каждом множестве счётной базы топологии и получить всюду плотное множество. 1 Также можно взять счётное всюду плотное множество S и проверить, что все шары рациональных радиусов с центрами в точках множества S образуют базу топологии. 1
2. Определить, что базу индуцированной топологии подпространства образуют пересечения элементов базы топологии объёмлющего пространства с этим подпространством. 1
3. Сделать вывод, что любое подпространство сепарабельного метрического пространства имеет счётную базу, то есть является сепарабельным. 14