Как доказать, что четная группа содержит элемент порядка 2 (без теоремы коши)?

Чтобы доказать, что чётная группа содержит элемент порядка 2, можно использовать следующий подход: math.stackexchange.com

Если G — группа чётного порядка, то для каждого элемента в группе существует обратное. math.stackexchange.com Поскольку это группа чётного порядка, все элементы можно объединить в пары, и останется один. math.stackexchange.com Пусть a — этот элемент. math.stackexchange.com Он должен быть собственным обратным, и, следовательно, a ∗ a = 1 = a2 ⇒ o(a) = 2. math.stackexchange.com

Также можно использовать теорему 3 на сайте halgebra.math.msu.su: halgebra.math.msu.su

Доказательство: halgebra.math.msu.su

Пусть для всех e = g ∈ G имеем O(g) > 2. halgebra.math.msu.su Тогда g = g−1, O(g−1) = O(g), поэтому число неединичных элементов группы G чётное, а |G| — нечётное число. halgebra.math.msu.su Получили противоречие. halgebra.math.msu.su