Как была сформулирована формула Лейбница для производных произведений?

Формула Лейбница для производных произведений была сформулирована следующим образом: 5

Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. 5 Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим. 5

Сопоставим эти выражения со степенями бинома. 5 Чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и, нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1,2,3) производными соответствующих порядков. 5 Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и. 5

Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n, получим формулу Лейбница, где — биномиальные коэффициенты. 5

Доказательство формулы проводится методом математической индукции. 3