How do German prepositions differ in meaning when used with different case endings?

Некоторые немецкие предлоги могут требовать после себя только один определённый падеж, другие же могут употребляться с разными падежами в зависимости от передаваемого значения и вопроса, который можно подставить. vk.com

Предлоги, управляющие одним падежом, например дательным (Dativ), винительным (Akkusativ) или родительным (Genitiv), требуют после себя дополнения в строго определённом падеже. www.studygerman.ru online-teacher.ru

Предлоги, управляющие двумя падежами, такие как an, auf, hinter, in, neben, über, unter, vor, zwischen, употребляются с разными падежами в зависимости от смыслового контекста. www.studygerman.ru

Если речь идёт о действии, имеющем цель или направление, то предлоги этой группы употребляются с винительным падежом. www.studygerman.ru Например: Er schreibt das Wort an die Tafel (Akkusativ) — Он пишет слово на доске. www.studygerman.ru

Если речь идёт о месте действия (предложение отвечает на вопрос wo? «где?») или чётко определённом промежутке времени, то предлоги этой группы употребляются с дательным падежом. www.studygerman.ru

Предлоги, не требующие после себя строго определённого падежа, например wie, als, не связаны с необходимостью употребления после себя существительного в каком-либо определённом падеже. online-teacher.ru

Таким образом, выбор падежа, с которым употребляется предлог, влияет на значение предложения.