Для доказательства площади круга Архимед использовал метод exhaustion. 34 Он вычислил площадь внутри круга, заполнив его многоугольником с большей площадью и большим количеством сторон. 4

Затем Архимед сравнил площадь, заключённую кругом, с площадью прямоугольного треугольника, у которого основание имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга. 1 Если площадь круга не равна площади треугольника, то она должна быть либо больше, либо меньше. 1 Архимед исключил каждую из этих возможностей методом противоречия, оставив равенство как единственную возможность. 1

Таким образом, он доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого основание имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга. 13