Где применяются бесконечные непериодические дроби в реальной жизни?

Возможно, имелись в виду цепные дроби, в том числе бесконечные. Они используются в разных сферах, например:

• Математика. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru Непрерывные дроби применяют в теории чисел и вычислительной математике, математическом анализе и других разделах. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru
• Физика, небесная механика, техника. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Некоторые примеры использования цепных дробей в реальной жизни:

• Проектирование зубчатых колёс. nsportal.ru Голландский учёный Христиан Гюйгенс применил теорию цепных дробей при строительстве одного из первых механических планетариев. nsportal.ru Это обеспечило высокую точность во взаимном движении моделей планет. nsportal.ru
• Вычисление приближённого значения золотого сечения. nsportal.ru Это число отражает пропорции объектов, которые воспринимаются человеком как гармоничные. nsportal.ru Правилом золотого сечения пользуются архитекторы, художники, дизайнеры. nsportal.ru