Да, существует универсальный алгоритм решения линейных диофантовых уравнений с любым числом неизвестных. 3 Он включает следующие шаги: 3

1. Проверка, решаемо ли уравнение вообще. 3 Если ответ положительный, то переход к следующему пункту. 3
2. Для ускорения процесса деление всех коэффициентов (включая свободный член) на их наибольший общий делитель. 3
3. Избавление от отрицательных коэффициентов в уравнении. 3
4. Серия замен, при которой в конце концов один из членов уравнения будет с единичным коэффициентом, и его можно будет вывести без какого-либо деления. 3
5. Объявление всех переменных, через которые выражена неизвестная, как свободных. 3
6. Вывод остальных переменных через выведенную, не забывая про обратные замены. 3
7. Объединение всего в единую систему решений. 3

Пример, когда диофантовы уравнения не всегда имеют решения: уравнение 4x + 14y = 5. 4 Решений нет, так как в левой части уравнения при любых целых x и y будет получаться чётное число, а 5 — число нечётное. 4

Ещё один пример: уравнение 4x + 14y = 8. 4 Все коэффициенты делятся на 2. 4 Делим уравнение на это число и получаем: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. 4

Также для решения диофантовых уравнений можно использовать алгоритм Евклида. 15