Да, существует математическое доказательство метода палетки. 1

По одному из вариантов доказательства, измеряемую фигуру разбивают на прямоугольник внутри и вне фигуры. 1 Затем рассматривают более «мелкие» фигуры. 1 Получаются две бесконечные стягивающие последовательности, указывающие на число таких фигур, что и будет приблизительным значением площади. 1 Изнутри последовательность возрастающая, вне — убывающая. 1 Нужно доказать, что пределы этих последовательностей равны — это и есть площадь фигуры. 1

Похожий подход встречается в курсе «Дифференциального интегрального исчисления» автора Фихтенгольца. 1

Также существует универсальный алгоритм приближённого вычисления площади фигуры с помощью палетки: 3

1. Наложить на фигуру палетку. 3
2. Найти, сколько целых клеток внутри фигуры (a). 3
3. Найти, сколько всего клеток занимает фигура (b). 3
4. Посчитать площадь частично занятых клеток по формуле: (b — a) : 2. 3
5. Вычислить приближённое значение площади фигуры по формуле: S ≈ a + (b — a) : 2. 3 Если при вычитании b — a получилось нечётное число (число, которое не делится на 2), то результат надо увеличить на 1. 3
6. Записать вычисление в тетрадь, выражая результат в квадратных единицах. 3

Стоит учитывать, что площадь фигуры по палетке вряд ли возможно определить абсолютно точно, ведь редко два кусочка могут идеально заменить целый квадратик. 2