Двойной интеграл — это обобщение понятия определённого интеграла на случай функции двух переменных. 1

Основные свойства двойных интегралов:

• Линейное свойство: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. 1
• Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 12
• Аддитивное свойство: если область интегрирования разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части. 1
• Теорема о среднем: если функция непрерывна в области, то в этой области найдётся такая точка, что интеграл по ней равен среднему значению функции в этой области. 1

Для вычисления двойного интеграла нужно: 5

1. Построить область D в системе координат и определить границы этой области по оси Ох и по оси Оу. 5
2. Выбрать один из видов области интегрирования, подставить в функцию и вычислить двойной интеграл по определённому правилу. 5
3. При вычислении двойного интеграла сначала вычислить внутренний интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница, считая одну из переменных постоянным числом. 5 Затем вычислить внешний интеграл также по формуле Ньютона-Лейбница. 5

Двойные интегралы используются для вычисления площади областей, ограниченных кривыми или поверхностями в плоскости xy, объёма твёрдых объектов или областей в трёхмерном пространстве, распределения массы и плотности объектов с переменной плотностью и других величин. 3