Докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой.?

Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. budu5.com lc.rt.ru

Доказательство:

1. Существование перпендикуляра. budu5.com Пусть точка А не лежит на прямой ВС. budu5.com Проведём луч ВА. budu5.com Затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС. budu5.com На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА. budu5.com Проведём прямую АК, пусть Н — точка пересечения прямых ВС и АК. budu5.com АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН — общая сторона, ВА = ВК, АВН = КBН (по построению), ВНА = ВНD. budu5.com Но ВНА и ВНD — смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА + ВНD = 180°, следовательно, каждый из смежных углов прямой, то есть ВНА = ВНD = 90°, а значит АН ВС. budu5.com

2. Единственность перпендикуляра. budu5.com Предположим, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, тогда получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются в точке А. budu5.com Но по свойству перпендикулярных прямых, прямые АН и АН1 пересекаться не могут, значит, наше предположение неверно и через точку А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. budu5.com

Теорема доказана. budu5.com