Докажите теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой.?

Теорема о перпендикуляре, проведённом из данной точки к данной прямой: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 14

Доказательство:

1. Существование перпендикуляра. 1 Пусть точка А не лежит на прямой ВС. 1 Проведём луч ВА. 1 Затем от луча ВС отложим угол СВD, равный углу АВС. 1 На луче ВD отложим отрезок ВК, равный отрезку ВА. 1 Проведём прямую АК, пусть Н — точка пересечения прямых ВС и АК. 1 АВН = КВН по первому признаку равенства треугольников: ВН — общая сторона, ВА = ВК, АВН = КBН (по построению), ВНА = ВНD. 1 Но ВНА и ВНD — смежные углы, тогда по свойству смежных углов ВНА + ВНD = 180°, следовательно, каждый из смежных углов прямой, то есть ВНА = ВНD = 90°, а значит АН ВС. 1

2. Единственность перпендикуляра. 1 Предположим, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, тогда получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются в точке А. 1 Но по свойству перпендикулярных прямых, прямые АН и АН1 пересекаться не могут, значит, наше предположение неверно и через точку А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. 1

Теорема доказана. 1