Доказательство, что существует бесконечно много простых чисел вида 4k - 1: 25

1. Предположим, что множество таких чисел конечно. 5 Перенумеруем их в порядке возрастания: p1 = 3, p2 = 7, p3 = 11, … , pr. 5
2. Рассмотрим целое число N = 4 * p1 * p2 * … * pr - 1. 5 Это число нечётное, поэтому все его простые делители нечётны. 5
3. Нечётные числа могут быть представлены либо в виде 4n + 1, либо в виде 4n - 1. 5
4. Заметим, что произведение любых двух чисел вида 4n + 1 имеет тот же вид. 5
5. Отсюда, ввиду того, что N имеет вид 4n - 1, можно заключить, что у N есть простой делитель вида 4n - 1. 5 Обозначим его буквой p. 5
6. Так как N не делится ни на одно из чисел p1, p2, … , pr, то p отлично от всех чисел p1, p2, … , pr. 5
7. Это противоречит предположению, что p1, p2, … , pr — совокупность всех простых чисел вида 4k - 1. 5
8. Утверждение доказано. 5