Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. 7

Доказательство прямой части: пусть дан треугольник ABC, в котором AB>AC. 1 Необходимо доказать, что ∠C > ∠B. 1 На стороне AB отметим точку D такую, что AD=AC. 1 Это возможно, ведь по условию AC < AB. 1 Обозначим ∠ACD=∠1, ∠ADC=∠2. 1 Точка D лежит между A и B, поэтому ∠1<∠C. 1 Треугольник ADC — равнобедренный, углы при основании равны, ∠1 = ∠2. 1 Значит, ∠2<∠C. 1 Угол ∠2=∠BCD + ∠B как внешний угол треугольника BCD, значит, ∠2 > ∠B. 1 Но ∠2<∠C, поэтому ∠C > ∠B. 1

Доказательство обратной части: пусть дан треугольник ABC, в котором ∠C > ∠B. 5 Необходимо доказать, что AB > AC. 5 Предположим, что AB = AC или AB < AC. 5 Если AB = AC, то ABC — равнобедренный, значит, ∠C = ∠B (по свойству равнобедренного треугольника). 5 Что противоречит условию, так как ∠C > ∠B. 5 Если AB < AC, то ∠C < ∠B (по доказанной выше теореме: против большей стороны лежит больший угол). 5 Что тоже противоречит условию, так как ∠C > ∠B. 5 Поэтому наше предположение неверное, следовательно, AB > AC. 5

Следствия из теоремы:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. 45
2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). 45