Доказать что открытое множество открытого пространства открыто?

Доказательство, что открытое множество открытого пространства открыто, можно провести следующим образом: math.phys.msu.su

1. Необходимость очевидна: открытое множество само является окрестностью любой своей точки и содержит самого себя как подмножество. math.phys.msu.su
2. Достаточность тоже доказывается просто: если множество A вместе с любой своей точкой содержит некоторую её окрестность, то оно является объединением этих окрестностей, а поскольку они суть открытые множества, то и множество A открыто. math.phys.msu.su

Таким образом, открытое множество открытого пространства также открыто. math.phys.msu.su

Ещё один способ доказательства этого утверждения — использование второй аксиомы топологии: объединение любого числа открытых множеств открыто. dep_geometry.pnzgu.ru