Доказательство, что открытое множество открытого пространства открыто, можно провести следующим образом: 2

1. Необходимость очевидна: открытое множество само является окрестностью любой своей точки и содержит самого себя как подмножество. 2
2. Достаточность тоже доказывается просто: если множество A вместе с любой своей точкой содержит некоторую её окрестность, то оно является объединением этих окрестностей, а поскольку они суть открытые множества, то и множество A открыто. 2

Таким образом, открытое множество открытого пространства также открыто. 2

Ещё один способ доказательства этого утверждения — использование второй аксиомы топологии: объединение любого числа открытых множеств открыто. 5