Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что любая непротиворечивая система аксиом арифметики неполна — в любой найдутся неразрешимые утверждения. 1 Для любой такой формальной системы всегда найдутся утверждения о натуральных числах, которые верны, но которые недоказуемы внутри системы. 4

Вторая теорема о неполноте показывает, что система не может продемонстрировать свою собственную непротиворечивость. 4

Теорема Гёделя о полноте — фундаментальная теорема математической логики, которая устанавливает соответствие между семантической истинностью и синтаксической доказуемостью в логике первого порядка. 5

Зачем нужна теорема Гёделя: она означает, что математической теории всего быть не может, и нельзя объединить множество доказуемых утверждений со множеством истинных. 7 То, что математики могут доказать, зависит от начальных предположений, а не от какой-то фундаментальной истины, из которой происходят все ответы. 7