Чем отличается прямая сумма подпространств от внешней прямой суммы?

Прямая сумма подпространств и внешняя прямая сумма отличаются по определению. 12

Прямая сумма подпространств (внутренняя прямая сумма) определяется как пространство, в котором каждый вектор может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы подпространств. 5

Внешняя прямая сумма определяется как декартово произведение векторных пространств с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр. 5 При этом исходные пространства изначально не являются подпространствами какого-либо одного объёмлющего линейного пространства. 1

Таким образом, прямая сумма подпространств связана с подпространствами, а внешняя прямая сумма — с произвольными векторными пространствами. 12